國際數學奧林匹克 - 香港選拔賽題目 (二)

1 . 甲、乙、丙三個投資基金分別聲稱可在一年內賺取200%、300% 和500% 的利潤。湯美有90000 元，他打算用這筆錢投資在這些基金上。可是他知道，只有一個基金可以兌現承諾，其餘兩個則會倒閉。他想到一個投資計劃，可以確保一年後獲得最少n 元的淨利潤。求n 的最大可能值。

2 . 現要把球A、B、C、D、E 放進七個編號為1 至7 的盒子中，其中每個盒子最多只可放一個球。此外，球A 和B 必須被放進兩個編號連續的盒子，而球C 和D 亦必須被放進兩個編號連續的盒子。問有多少種方法把球放進盒子？

3 . 有多少個10 位正整數的10 個數字互不相同，並且是11111 的倍數？

4 . 若一個正方形可以完全覆蓋一個邊長3、4、5 的三角形，求正方形的最小邊長。

5 . 一個遊戲有2005 名小孩參加，他們被編成1 至2005 號。此外，遊戲中有2005 張咭片，分別編成2 至2006 號。現要把咭片派給小孩，每人一張，並且要求每人所得的咭片的編號都是相應的小孩的編號的倍數。問有多少種不同的方法派咭片？

6 . 求由1 至1000 內所有包含 “7” 這數字的整數的總和。

7 . 選擇題測驗共有100 條問題。每題答對得4 分，不作答得0 分，答錯得 −1 分。問這測驗可以有多少個不同的總分？

8 . 一長方形紙張的邊長為整數。將紙張對摺使得其中兩個對角重疊，得摺線的長度為65。求該長方形紙張週長的一個可能值。

9 . 一名學生要為學校的活動製作一幅長方形的宣傳橫額，開支上限為 $10000。橫額的長度和闊度（以米為單位）必須是整數。若製作橫額每長一米收費 $330，每闊一米收費 $450，問可製作的橫額的面積最大是多少平方米？

10 . 一隻螞蟻沿著一個邊長1 單位的正方體的邊爬行。牠從其中一個頂點出發，每分鐘均會從一個頂點走到另一個相鄰的頂點。走了7 分鐘後，螞蟻距離起點 3 單位。該螞蟻所走的路線有多少個不同的可能？

11 . 某校有1000 名學生，分別編號為1 至1000。當中任何500 名學生中，若有一人的編號整除另一人的編號，則這500 名學生稱為「好群組」，否則稱為「壞群組」。例如：編號1 至500 的學生組成一個「好群組」，因為編號13 和26 的學生均在這群組中，而且13 整除26。若某名學生不屬於任何「壞群組」，則稱為「好學生」。在所有「好學生」中，求編號最大的一個。

12 . 有5555 名小孩，他們編號為1 至5555，並順序圍圈而坐。每人手上均有一個整數：編號為1 的小孩手中的整數為1，編號為12 的小孩手中的整數為21，編號為123 的小孩手中的整數為321，編號為1234 的小孩手中的整數為4321。已知任意連續2005 位小孩手上的整數之和均為2005。問編號為5555 的小孩手中的整數是甚麼？

13 . 15 名學生參加了一個暑期課程。每天放學後，均有3 名學生當值，負責清潔課室。課程結束後，發現任何兩名學生均曾經同時當值剛好一次。問課程共為期多少天？

14 . 一群農夫收成了一批少於1000 個的蘋果。他們分蘋果的方法如下：每人輪流取蘋果一次，每次皆取走餘下蘋果的剛好一半或剛好三分之一，而且不能把蘋果切開。當所有農夫均取過蘋果後，餘下的蘋果撥充善舉。最多有幾名農夫分蘋果？

15 . 某星球上共有100 個國家，它們之間組成不同的聯盟，每個聯盟最多有50 個會員國。每個國家均加入若干個聯盟，使得任何兩個國家均同時屬於某個聯盟。那麼，至少要組成多少個聯盟？

16. 現有兩個正整數，其中一個是平方數。若兩數之和比它們之積小2006，求兩數之差。

17. 若彼德以他正常的步速在一條開動中的扶手電梯上行走，那麼通過整條扶手電梯需要40 秒。若彼德以他兩倍正常步速在扶手電梯上行走，那麼通過整條扶手電梯需要30 秒。如果彼德在扶手電梯上立定不行走的話，通過整條扶手電梯需時多少秒？