2008年11月6日星期四

奧數題目

1. 把94表示為13個不同自然數的和。這樣的方法有多少種?寫出來。

2. 有A、B、C、D四個數,它們的和是60,A數的5倍,B數減1,C數加4,D數的一半都相等。求A、B、C、D四個數各是多少?

3. 一片青草,每天生長的速度相等,現在這片青草可供10頭牛吃20天,或供60只羊吃10天,如果1頭牛的吃草量等於4只羊的吃草量,那麼10頭牛與60只羊一起吃,可以吃多少天?
4. 有一簍蘋果,甲取走一半少1個,乙取走餘下的一半又1個,丙又取走其餘的一半,這時簍裏還有1個。如果每個蘋果0.65元,這簍蘋果一共值多少元?

5. 有14個紙盒,其中有裝一個球的,也有2個和3個球的,這些球共有25個,裝一個球的盒數等於裝2個球和3個球盒數的和,求裝1、2、3個球的盒子各有多少個?

2008年10月17日星期五

《港澳盃》個人賽 (P. 5 - 6)

1) 請計算 1111111111×11111111 = ?
2) 6年A班共80人在這學年進行了四次測驗。第一次測驗有28人合格,第二次測驗有36人合格,第三次測驗有31人合格,第四次測驗有38人合格;而第一次與第二次都合格的有16人,第一次與第三次都合格的有10人,第一次與第四次都合格的有13人,第二次與第三次都合格的有10人,第二次與第四次都合格的有20人,第三次與第四次都合格的有15人;只有第一次不合格的有7人,只有第二次不合格的有6人,只有第三次不合格的有8人,只有第四次不合格的有5人;如果全部四次都不合格的有9人,那麼全部四次都合格的有多少人?
3) 天文學家量出地球公轉一年約8765.81277小時。因為365日只有8760小時 (欠計5.81277小時),而366日有8784小時 (多計18.18723小時),因此人類的曆法,逢四年一閏,逢百年不閏,逢四百年一閏。由於「逢四百年一閏」仍會多閏了若干小時,請計算「逢四百年一閏」的最大次數,而多閏的時間少於24小時? (1分)[假設:「逢四百年一閏」每次多計1.1小時,那麼「逢四百年一閏」的最大次數是21 次,而多閏的時間少於24小時。]
4) 問一百年後的今日 (2106/02/26) 是星期幾?
5)請計算 10101010101010101×101010101010101 = ?
6) 請計算 111111011×111111211 = ?
7)A、B、C 三輛車,從X地開往Y地。B 車比A車遲出發10分鐘,出發後40分鐘追上A車;C 車又比B車遲出發20分鐘,出發後1小時40分鐘追上了A車。問C 車出發後多少分鐘才追上B車?
8) 一個游泳池長60米,甲、乙兩人同時在泳池同一端開始,游向另一端,當到達另一端之後,立即轉身返回。甲的游泳速度是每秒3米,乙的游泳速度是每秒2米;那麼他們兩人第一次相遇時,距離他們的出發點多遠?

2008年10月16日星期四

國際數學奧林匹克 - 香港選拔賽題目 (二)

1 . 甲、乙、丙三個投資基金分別聲稱可在一年內賺取200%、300% 和500% 的利潤。湯美有90000 元,他打算用這筆錢投資在這些基金上。可是他知道,只有一個基金可以兌現承諾,其餘兩個則會倒閉。他想到一個投資計劃,可以確保一年後獲得最少n 元的淨利潤。求n 的最大可能值。

2 . 現要把球A、B、C、D、E 放進七個編號為1 至7 的盒子中,其中每個盒子最多只可放一個球。此外,球A 和B 必須被放進兩個編號連續的盒子,而球C 和D 亦必須被放進兩個編號連續的盒子。問有多少種方法把球放進盒子?

3 . 有多少個10 位正整數的10 個數字互不相同,並且是11111 的倍數?

4 . 若一個正方形可以完全覆蓋一個邊長3、4、5 的三角形,求正方形的最小邊長。

5 . 一個遊戲有2005 名小孩參加,他們被編成1 至2005 號。此外,遊戲中有2005 張咭片,分別編成2 至2006 號。現要把咭片派給小孩,每人一張,並且要求每人所得的咭片的編號都是相應的小孩的編號的倍數。問有多少種不同的方法派咭片?

6 . 求由1 至1000 內所有包含 “7” 這數字的整數的總和。

7 . 選擇題測驗共有100 條問題。每題答對得4 分,不作答得0 分,答錯得 −1 分。問這測驗可以有多少個不同的總分?

8 . 一長方形紙張的邊長為整數。將紙張對摺使得其中兩個對角重疊,得摺線的長度為65。求該長方形紙張週長的一個可能值。

9 . 一名學生要為學校的活動製作一幅長方形的宣傳橫額,開支上限為 $10000。橫額的長度和闊度(以米為單位)必須是整數。若製作橫額每長一米收費 $330,每闊一米收費 $450,問可製作的橫額的面積最大是多少平方米?

10 . 一隻螞蟻沿著一個邊長1 單位的正方體的邊爬行。牠從其中一個頂點出發,每分鐘均會從一個頂點走到另一個相鄰的頂點。走了7 分鐘後,螞蟻距離起點 3 單位。該螞蟻所走的路線有多少個不同的可能?

11 . 某校有1000 名學生,分別編號為1 至1000。當中任何500 名學生中,若有一人的編號整除另一人的編號,則這500 名學生稱為「好群組」,否則稱為「壞群組」。例如:編號1 至500 的學生組成一個「好群組」,因為編號13 和26 的學生均在這群組中,而且13 整除26。若某名學生不屬於任何「壞群組」,則稱為「好學生」。在所有「好學生」中,求編號最大的一個。

12 . 有5555 名小孩,他們編號為1 至5555,並順序圍圈而坐。每人手上均有一個整數:編號為1 的小孩手中的整數為1,編號為12 的小孩手中的整數為21,編號為123 的小孩手中的整數為321,編號為1234 的小孩手中的整數為4321。已知任意連續2005 位小孩手上的整數之和均為2005。問編號為5555 的小孩手中的整數是甚麼?

13 . 15 名學生參加了一個暑期課程。每天放學後,均有3 名學生當值,負責清潔課室。課程結束後,發現任何兩名學生均曾經同時當值剛好一次。問課程共為期多少天?

14 . 一群農夫收成了一批少於1000 個的蘋果。他們分蘋果的方法如下:每人輪流取蘋果一次,每次皆取走餘下蘋果的剛好一半或剛好三分之一,而且不能把蘋果切開。當所有農夫均取過蘋果後,餘下的蘋果撥充善舉。最多有幾名農夫分蘋果?

15 . 某星球上共有100 個國家,它們之間組成不同的聯盟,每個聯盟最多有50 個會員國。每個國家均加入若干個聯盟,使得任何兩個國家均同時屬於某個聯盟。那麼,至少要組成多少個聯盟?

16. 現有兩個正整數,其中一個是平方數。若兩數之和比它們之積小2006,求兩數之差。

17. 若彼德以他正常的步速在一條開動中的扶手電梯上行走,那麼通過整條扶手電梯需要40 秒。若彼德以他兩倍正常步速在扶手電梯上行走,那麼通過整條扶手電梯需要30 秒。如果彼德在扶手電梯上立定不行走的話,通過整條扶手電梯需時多少秒?